Nuevo Curso de post-grado en Matemática.

Nombre: 
Ecuaciones en derivadas parciales no lineales en Geometría Diferencial

Docente:
Dr. Fernando R. Dobarro

Institución:
Escuela de Postgrado - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad Nacional de Mar del Plata. 

Destinatarios: Investigadores y  Alumnos de post-grados en Matemática, Física y áreas relacionadas.

Primera reunión de presentación: Viernes 11 de Marzo de 2011.

Cronograma: Se realizará a lo largo del primer cuatrimestre de 2011 con horarios a determinar.

UVAC:  5

Contacto: smolina@mdp.edu.ar, jorgenicolaslopez@yahoo.es 

Justificación y fundamentación del curso

    Muchos problemas con origen en geometría diferencial y/o físico- matemática así como en muchas otras áreas de la ciencia involucran el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales, cuya dificultad requiere el desarrollo de nuevos métodos para enfrentarlas. En los últimos 30 años hubo un gran impulso en esta área de investigación, la cual si bien se ubica dentro de la matemática esta estrechamente ligada a la interdisciplinariedad tanto a priori como a posteriori del tratamiento del problema matemático en si.
    En este curso proponemos algunos problemas en geometría diferencial asociados a los efectos de la curvatura que nos permitirán introducir algunas importantes técnicas de análisis no lineal. Los problemas y los métodos que pretendemos tratar son de central importancia también en diversas áreas de la física, especialmente en relatividad general, física del plasma y cosmología. Un curso de estas características permitiría ayudar a la preparación de un terreno fértil para futuras investigaciones asociadas a problemas interdisciplinarios del tipo anteriormente descripto, los cuales son de fuerte interés en la actualidad.

Programa analítico

1. Variedades diferenciales. Variedades diferenciales. Aplicaciones diferenciales. Vectores tangentes. Curvas. Campos vectoriales. 1-formas. Inmersiones y submersiones. Topología de variedades. Algunas variedades. Curvas integrales.

2. Tensores. Campos tensoriales. Interpretacion. Tensores en un punto. Componentes tensoriales. Tensores covariantes. Derivación de tensores. Formas bilineales simétricas. Productos escalares.

3. Variedades Riemannianas. Isometrías. Conexión de Levi -Civita. Traslación paralela. Geodésicas. Aplicación exponencial. Tensor de curvatura de Riemann. Curvatura seccional. Contracción de indices. Frame Fields. Algunos operadores diferenciales. Operador de Laplace-Beltrami. Tensor de curvatura de Ricci y curvatura escalar (escalar de Ricci). Teorema de Hopf-Rinow. Producto de variedades Riemannianas.

4. Espacios de Sobolev. Repaso de espacios de Sobolev y espacios de Hölder en Rn. Integración sobre variedades de Riemann compactas. Espacios Lp en variedades Riemannianas compactas. Espacios de Sobolev en variedades de Riemann. Teoremas de inmersión.

5. Algunas PDEs básicas en variedades Riemannianas. Repaso sobre PDEs en Rn. Ecuaciones elípticas. Regularidad y principio del máximo. Espectro de una variedad de Riemann compacta. El primer autovalor no nulo. Desigualdad de Poincaré. Ecuación de Laplace. Ecuaciones subcríticas. Métodos variacionales. Sub-supersolución.

6. Curvatura escalar prescripta. El problema de Yamabe: formulación geométrica y formulación como ecuación diferencial elíptica no lineal. El invariante de Yamabe. Exponente critico. Condición de Palais-Smale.

7. Otros problemas con PDEs no lineales en variedades Riemannianas y pseudo-Riemannianas. Ecuaciones de Einstein. Variedades de Einstein. Curvatura escalar prescrita en warped products: formulación del problema como ecuaciones diferenciales elípticas sub-lineales. Curvatura escalar y el problema cóncavo-convexo. Ecuaciones elípticas no lineales singulares en variedades Riemannianas.